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均值-方差分析(微观金融学笔记三)

一、基本假设和概念

问题场景:

我们用一个事件态集来表示资产族(集)在某个时间点状态,其中就对应于一个特定的资产的某个指标(比如价格).

资产期初价格为,,这个期初价格对投资者而言是已知的确定的. 那么,对资产族而言构成期初价格向量

资产期末价格为,,这个期末价格对是一个不确定量,被认为是一个随机变量. 于是构成了期末价格向量

如果进一步设,资产的演变由一个差分方程确定:

或等价于:

这里是资产的收益率,是随机变量.自然就代表收益率向量.

现考虑投资者的一个决策(选择),其中是价格为的资产.的"数量". 我们称该选择为一个资产组合(portfolio).

那么期初总资产由下式表示(对投资者而言被认为受限的和固定的):

    

期末总资产由下式表示:

为了便于表达,期初总资产表达式(3.1.2)改写为:

其中:,被理解为第个资产投资额占总投资的比例.

期末总资产表达式(3.1.3)改写为:

由式(3.1.3')和(3.1.2) 进一步得到:

             

即:

其中:定义总资产收益率(随机变量)为:

由(3.1.3)可见:投资者对期末总资产的期待等效于对总资产收益率的期待. 为了便于分析,首先引入如下三个假设.

假设一:投资者事先知道每个产品的投资收益率的概率分布，并能够仅仅根据期望收益率及方差（标准差）这两个指标就可以做出投资决策.

假设二:无摩擦的市场(frictionless market): 即不存在交易费用和税收,所有证券无限可分.

假设三:均方效率原则:

1) 同等的期望收益率下,投资者希望风险越小越好..

2) 同等风险条件下,期望收益率越高越好

假设的说明:

假设二仅仅是为方便.假设三是在假设一的基础上对理性投资者选择行为的一个方面的描述.  现在问题的关键集中在假设一的合理性.

假设一表明, 有期望收益(均值)这个集中指标和收益方差(风险)这个偏差指标,就完全可以确定投资决策.

根据偏好-效用理论,上面的表述意味着:

只应包括和两个变量.

我们先对效用函数在期望收益附近做泰勒级数展开:

于是有:

其中: 是高阶余量.

到这里我们发现,假设一成立的条件是:要么等于0,要么它也可以用表达.  

于是我们分两个方面讨论:

1) 不为0但可以用表达. 即随机变量的任意高阶矩都可以用来表达.也就是随机变量完全由所描述. 数学上只有正态分布同时满足前面的特性和可加性的特性.  所以,对于任意偏好,随机变量被要求满足正态分布.

2)  =0, 即忽略效用函数的高阶余量:

上面的表示通过单调增的仿射变换后效用函数.

即要求效用函数是二次的:

最后我们有结论:均值-方差分析和期望效用理论并不兼容: 只有当收益率随机变量满足正态分布或效用函数是二次的前提下,才能从期望效用理论进入到均值-方差分析.

二、均方分析

根据均方效率原则一的假设, 可以投资者选择问题描述为:

根据假设一我可以计算总资产收益率方差和总资产期望收益率.

首先计算总资产收益率方差,即总资产收益率的方差:

即:

其中:是资产收益率协方差矩阵.

然后计算总资产期望收益率,即总资产收益率的期望值:

即:

其中 列向量是资产期望收益率向量.

这样,投资者选择问题可以重新描述为:

投资者选择问题求解:

用拉格朗日方法求的最大值.

构造拉氏函数:

令一阶偏导数等于0:

(3.2.5)的第一等式可以改写为:

(3.2.5)的第二三等式可以合并为:

于是有:

其中:

代入前式简化得:

进一步得到问题的解(投资者的选择):

及对应的总资产收益率方差:

写成代数形式为:

解毕. 

这就是均值-方差二维空间中的一条抛物线(parabola). 这条抛物线被称为最小方差曲线(minimum variance curve),如下图:

它位于可行解的边界上,以点为分界分为上下两个半支,被称为全局方差最小组合点(global minimum variance portfolio point):

于是:          

             

注意点的以下部分被理性投资者所拒绝,因为它违背了均方效率原则二.这样最小方差曲线点的以上部分(子集),被称为均方效率边界(mean-variance efficient frontier),这意味着它同时满足了两个均方效率原则.

三、均方效率资产组合的特征

研究均方效率资产组合的特征的数学工具是协方差.

我们首先计算有均方效率边界任意两个资产组合,对应总资产收益率, 有协方差:

计算过程:

将前(3.2.7)代入得:

 

计算完成.       

性质1): 除了全局最小方差资产组合点以外,对应均方效率曲线上任意一资产组合点,总能在最小方差曲线上找到另外唯一一点,使得它们之间的协方差等于0, 称他们为一对正交(orthogonal)资产.  

证明:   令

等价于:

证毕.

正交资产的几何解释

在均值-方差空间(a)中通过与全局最小方差组合点作一条曲线,与期望收益轴的交点,就是正交资产组合的收益.

即这三个点共线. 因为

将(3.2.8),(3.2.9),(3.2.10),(3.3.2)代入下式并化简为:

即:             

在均值-标准方差空间(b)中,由与点相切的直线与期望收益轴的交点,就是正交资产组合的收益.  因为:

根据(3.2.8)两边求微分并整理得:

而将(3.2.8),(3.3.2)代入下式并化简为:

即:

性质2): 全局最小方差资产组合与其他任意均方效率资产组合的(总资产收益率)协方差总是等于全局最小方差资产组合的(总资产收益率)方差.

证明:

即:  

   证毕.

有了性质1),进一步计算有:单一风险资产与均方效率资产组合的(总资产收益率)协方差可以表达为:

其中: 用一个特殊的资产组合来表示单一风险资产.

是第种风险资产与的正交资产相比的超额期望收益率. 

计算过程:

用(3.3.2)即性质1)式减去上式得:          

计算完成.

进而: 任意均方效率资产组合的(总资产收益率)方差都可以表示为:

其中:代表资产组合相对于其正交资产组合的超额收益.

计算过程::

计算完成.

性质3): 任意风险资产相对于的正交资产组合的超额收益,同均方效率资产组合相对于其正交资产组合的超额收益之间,存在正比例关系.

证明:

    联合(3.3.4)和(3.3.5)的公式得:

令:             

则有

证毕.

性质4) :  均方效率曲线上的任意两点的线性组合就可以勾勒出整个均方效率轨迹, 这就是两基金分离定理(two-fund separation theorem),即

定理:  设是给定收益率下,具有均方效率的资产组合,那么

1) 任何具有均方效率的资产组合都是由的线性组合构成..

2) 放过来,由的线性组合构成的资产组合,即也都是具有均方效率的资产组合.

证明:

    1)  就是对任意均方效率资产组合,对应的收益率,存在,满足:

的存在性得证.

     2)

而

这说明: 必然也是均方效率资产组合.

证毕.

四、加入一种无风险资产

可以重新表达资产选择问题:

这里的约束的经济含义是: 整个投资分为有风险和无风险两个部分,在各种风险资产上的投资份额是(),则余下的部分投资在无风险的资产上. 然后力求风险最小.

同样可以利用拉格朗日数学工具进行分析.  下面直接给出该问题的最优解:

其中: 就是风险资产相对无风险资产的超额收益.(列向量)

对应的均方关系:

在均值-标准方差空间中是两条射线.

 

现在将不存在无风险资产均值-标准方差曲线和存在无风险资产均值-标准方差曲线(直线).放在同一个均值-标准方差空间中.

根据两基金分离定理:在不存在无风险资产的均方效率曲线上任意取两个点来构成整个均方效率曲线. 特别的,我们取无风险资产和取不存在无风险资产均-标准差曲线和存在无风险资产均-标准差直线的切点. 也有和其对应的正交资产组合.  根据正交资产的几何解释,可以证明对应的收益率恰好就是无风险资产的收益率.  如图:

存在无风险资产条件下的均方效率边界

类似前面的分析: 任何一种风险资产与这对正交资产之间存在下面的关系:

五、最后的综合分析

前面独立于投资的个人偏好,我们获得了均方效率边界. 如果我们把投资者个人无差异曲线结合到同一个均方空间中来分析.  均方效率边界始终是曲线的上半部分,加上投资者均方效用函数的凸性.就保证了投资者选择的唯一性.  如图:

投资者行为的几何表述

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