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消费者期望效用(微观金融学笔记二)

一、基本概念

   依照概率论公理体系,我们的讨论将在某个概率空间中进行:

   是基本事件的空间: 市场状态或笔记一提及的消费空间.

   是子集的-代数.事件全体或笔记一提及的消费集束的规范化.   

   是概率,即上的概率测度.

于是有:

    1)  

    2)  

    3)  

   定义2.1.1: 我们把上代表事件的随机变量及其概率分布称为一个事件态..

       对离散随机变量,记为,代表离散事件随机变量, 代表其概率分布

       对连续随机变量,记为,代表连续事件随机变量, 代表其概率密度

   定义2.1.2:  如果只有两个基本事件,自然对应离散事件随机变量, 那么:

    被称之为简单事件态.

   很明显有如下性质:

      1)     

       证明:  对于组成的空间, 由于是不可能事件,所以可以将从剔除,即是一个确定事件空间. 证毕.

      2)   ,其中

       证明:    证毕.

      3)  ,其中

       证明:  根据条件概率公式, 有:

           证毕.

二、行为假设(公理)与偏好关系

   首先认为满足笔记一提及的消费者偏好公理一到六.

公理七:对于简单事件态其中

1）

2）

3） 

   公理八:连续性公理:对于简单事件态,其中, 有:

   公理九传递公理 设为三个事件态，则

   1)
   2)
定理2.2.1  设，－－必然事件，，则必存在，使得当时，事件态无差于必然事件，即。

   证明：据定义2.1.2的性质1:。比较事件态与，因为，根据连续性公理八，必存在,使得当时，，又根据传递性公理九， 。证毕。

定义2.2.1: 如若，则称为关于、的无差概率。
定理2.2.2 （简化性）任一有m种可能结果的事件态无差于某一简单事件态，即               （2.2.1）

其中，，为关于与的无差概率，，。

   证明：,且为关于与的无差概率，所以根据定理2.2.1，

      ，            （2.2.2）

   对中所有可能的结果都利用上式进行无差代换(也用到了条件概率公式)，即：

   因为，代入上式可得:  ，得证。

   下面的树形图说明了这一转化的过程。

这个定理告诉我们，任意一个标准事件态都可以转化成一个简单事件态，从而任意两个有多种可能结果的标准事件态之间的比较可以转化成与之无差的两个简单事件态的比较，且这两个事件态具有相同的结果，即可由公理七得出比较结果。

三、预期效用

   定义2.3.1:对于任意事件态,如果     

                   (2.3.1)

       并且满足:

          1)

          2)

        则称函数为关于事件的效用函数.

          称函数或为关于事件态或随机变量的期望效用函数,又被称为VNM效用函数.

   定理2.3.1期望效用函数存在性定理 : 对于任意事件态,满足定义2.3.1的期望效用函数一定存在的.

   证明:    假设有任意两个事件态 ,, 

     设:  , .

     那么根据定理2.2.2知: 分别存在简单事件态,满足:

           ,

     其中,,为关于与的无差概率,

          ,为关于与的无差概率,

     我们取 ,,,很明显都满足式(2.3.1).

     此外,

             证毕.

注: 上述期望效用函数存在性定理的证明,同时也是构造一个期望效用函数的过程.

具体的说，对于方案集(事件态集),期望

        其中，，                     

比较之间的大小即可对方案集进行排序，从而定出最优方案。

由此可以看出，对于方案集中各个备选方案的评价与排序，关键在于给出一个便于确定无差概率的一般方法和技巧。

   定理2.3.2期望效用函数的唯一性定理 : 对于仿射变换,期望效用函数是唯一的.

  证明: 对于仿射变换,有

       即:  

     反之, 如果某个单调变换能够保持期望效用函数的特征,即

       这说明,就是仿射变换.

     证毕.

  我们前面讨论仅仅是离散的随机变量对应的事件态, 下面我们考虑的是连续随机变量的事件态.

按照我们历来的做法: 连续可以用离散来逼近.于是得到对应连续随机变量的事件态的期望效用函数为:

         （2.3.2）

我们可以认为: 也是一个随机变量,称之为效用随机变量.  从数学角度上看,期望效用实际就是效用随机变量的数学期望.

四、风险态度及其测量

   定义2.4.1:  客观上将实际发生的事件与期望事件偏离程度,定义为风险(risk). 

       一般用事件随机变量或的标准差来描述风险程度:

                     （2.4.1）

                 （2.4.2）

   定义2.4.2:

     1)如果,称为风险厌恶(risk aversion).

     2)如果,称为风险爱好(risk loving).

     3)如果,称为风险中性(risk neutral).

我们现在要寻找一个代表风险厌恶程度的指标.  一般的,对于任意一个事件随机变量及定义其上的效用函数.   如下图是一个风险厌恶的效用函数图:

  其中 代表期望事件(比如:期望收益)

       代表期望事件的效用(比如:期望收益的效用)

       代表期望效用.

       代表确定性等价值(certainty equivalence).

        代表风险溢价(risk premium)

    这里风险溢价越大表示风险厌恶程度越高.

很明显有如下关系成立:

                     （2.4.3）

对上式两边都进行泰勒级数展开:

   忽略Re高阶余项,得:

   这样我们就得到了绝对风险厌恶指标,如下定义:

   定义2.4.2:阿罗-普拉特绝对风险厌恶(Arrow-Prattabsolute risk aversion)指标定义为:

     1) 对应风险爱好.

     2) 对应风险中性.

     3) 对应风险厌恶.

   定义2.4.3:阿罗-普拉特相对风险厌恶(Arrow-Pratt relative risk aversion)指标定义为:

   定义2.4.4:风险承受(risk tolerance)指标定义为:

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