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套利定价理论(微观金融学笔记五)

套利定价理论(（arbitrage pricing theory—APT)认为，套利行为是现代有效率市场（即市场均衡价格）形成的一个决定因素。如果市场未达到均衡状态的话，市场上就会存在无风险套利机会. 并且用多个因素来解释风险资产收益，并根据无套利原则，得到风险资产均衡收益与多个因素之间存在(近似的)线性关系.  而前面的CAPM模型预测所有证券的收益率都与唯一的公共因子(市场证券组合)的收益率存在着线性关系。

一、因素模型（factor models）

套利定价理论的出发点是假设证券的回报率与未知数量的未知因素相联系。

因素模型是一种统计模型。套利定价理论是利用因素模型来描述资产价格的决定因素和均衡价格的形成机理的。这在套利定价理论的假设条件和套利定价理论中都清楚的体现出来。

线性多因素模型的一般表达为:

或

其中:

代表种资产收益率组成的列向量.

代表种因素组成的列向量

是常数组成列向量

是因素对风险资产收益率的影响程度,称为灵敏度(sensitivity)/因素负荷(factor loading). 组成灵敏度矩阵.

是随机误差列组成的列向量.

并要求:

定义5.1.1 对于一个有个资产,种因素的市场,如果存在一个证券组合,使得该证券组合对某个因素有着单位灵敏度,而对其他因素有着零灵敏度. 那么该证券组合被称为纯因素证券组合.

该组合对于的总收益率:

构造纯因素证券组合时,不妨设第一个因素为纯因素,于是构造转换成解线性方程:

进而:

其中:是无风险收益率,每单位灵敏度的某因素的预期收益溢价.

由(5.1.4)可见纯因素证券组合不只一种，那么这些不同的证券组合，是否会产生同样的期望收益呢？答案是肯定的，这就涉及到无套利均衡。

二、无套利均衡（no arbitrage equilibrium）

套利和无套利是现代金融的最基本的概念之一.

定义5.2.1套利机会(Arbitrage Opportunity)

存在一个交易策略,满足以下4个条件:

1)不需要任何投入,自我融资(self-financing)

2)对所有因素风险完全免疫

3)对所有非因素风险完全免疫

4)当资产数目足够多时,期末可以获得无风险收益

无套利原理:在市场均衡时刻，不存在任何套利机会.

无套利原理已经成为了现代金融学的基本假设,今后的微观金融学笔记将会反复讨论这个概念.

三、套利定价理论

假设一:无摩擦的市场.

假设二:无操纵市场.

假设三: 无制度限制.

  这些关于理想化资本市场的三个假定与资本资产定价模型中的要求是一致的.

假设四: 资产收益由因素模型决定.

假设五: 同质预期

假设六: 市场上存在无风险资产

假设七: 满足无套利原理

定理5.3.1 (套利定价)假定风险资产收益满足上面的因素模型,并且不存在套利机会.则存在使得下式成立:

这里就不给具体证明,后面的笔记中将会提及更一般的资本资产定价理论.

证明思路:

试图构造一个套利组合.该组合自然首先要满足:

(5.2.1),(5.2.2),(5.2.3)

再考虑(5.2.4)对应的逆命题对应(就是无套利原理):

即

.

如果(5.2.1),(5.2.2),(5.3.3)同时成立,表明当时:

(列向量),(个列向量),(列向量)都和正交.

根据线性代数里的结论我们知道:

可以表示为这个列向量的线性组合.

即,当时,存在:

四、APT和CAPM

1．套利定价模型（APT）跟资本资产定价模型（CAPM）一样，是证券价格的均衡模型。

2. APT比CAPM需要更少的限制性的假设。

3. APT与CAPM的作用十分相似。它可以作为公平收益率，因此可用于资本预算、证券估价或投资业绩评估。并且，套利定价理论还可以说明两种风险之间更严格的区别：不可分散风险（系统风险）要求风险溢价形式的回报，而可分散风险则没有这样的回报要求。

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