無處不在

消费者偏好与消费者选择(微观金融学笔记一)

一、偏好关系基本概念

    定义1.1.1消费空间表示各种消费(consume)或者商品(commodity)的集合.  有时也称之为商品空间. 记为

    定义1.1.2以消费空间的子集为元素构成的集合, 我们称之为消费空间上的消费集束/商品集束. 对应于数学上称为集族或集类.  记为.

    定义1.1.3消费空间的子集或者消费集束的元素,我们称之为消费束(consume bundle)/商品束(commodity bundle).  有时也称之为消费集(consumption set)或选择集(choice set).   一般用小写字母 ,,....表示之. 比如:  .

消费集束和消费束的表示:  
        假设消费空间由m个商品组成.

    可以用m维欧几里得非负空间来表示. 或称全映射到.
        可以用表示, 这里是商品的消费量. 或称1-1映射到.   

    比如: 对于一个消费束(商品1消费2个单位,商品2消费7个单位),

          可以表示为: 

    于是在没歧义情况下,可以将和作为等效看待,和也可以作为等效看待.

    定义1.1.4上的偏好关系(preference relation)/偏好顺序(preference ordering):

     对于  , 定义:
   1) 被称为消费者在商品(束) 、中"弱偏好于",即消费者认为至少与一样好。

   2) 被称为消费者在商品(束) 、中"严格偏好于"，也就是说在任何情况下，消费者都认为比好. 即 .

   3)被称为消费者"无差异(indifference)于"商品、，也就是说消费者认为两样东西同样好. 即 .

二、消费者偏好公理

    公理一:  完备性(completeness) :

       .

        即,对, 则要么,要么,要么.

    公理二:  自反性(reflexivity):

       .

        即,对, 则.

    公理三:  传递性(transitivity):

       .

        即,对,如果并且, 则.

       如果将退化为显然有: 

    定义1.2.1:   如果偏好关系满足上述三条公理,就称之为理性(rationality).

    定理1.2.1:  ,即对任意一个消费束,都对应某个无差异集.

    反证: , 很明显违反自性公理   证毕.

注: 如果仅仅是理性的条件,对应的无差异集可能会退化成一个点. 比如: 字典偏好.

    根据定理1.2.1,我们可以进一步如下定义.   

    定义1.2.2  给定一个偏好关系和消费束, 我们可以定义三种偏好集合:

        1) 无差异集(indifference set) : , 即 同没有差异的消费束

        2) 上边界集(upper contour set) :,即包含所有至少同一样好的消费束

        3) 下边界集(upper contour set)  : ,,即包含所有不比更好的消费束.

    定理1.2.2: 

     即:  对于具有理性的偏好关系,的无差异集互不相交.

    证: 采用反证法.

   

     上面第二步用到了传递性公理.  很明显和前提条件相矛盾.  
       证毕.

    公理四:  连续性(continuity):

        是闭集

        是开集

         即,对,  集合是闭集, 并且是开集.

        注: 公理四保证了偏好不会出现突发性的逆转. 比如:字典偏好.

    定理1.2.3:  任何一个无差异集都是闭集.  

    证明:  有完备性公理知:

      

       进而由连续性公理和数学上"两个闭集              的交集也是闭集的结论" ,得到必然也是一个闭集.

      证毕.

    公理五': 局部非饱和性(local nonsatiation).   

      

        注:  公理五' 说明对任何一个特定的消费计划 都是不会满足的.

    定理1.2.4:  如果用表示, 则不存在无差异m维区域(indifference zones).

        证:  反证法.  如果有无差异m维区域,那么可以在该区域内以为圆心画出一个邻域,其内所有点必与无差异,这样就违背了公理五'.  证毕.
    由该定理知, 无差异集在中是(m-1)维的.

       如果m>3, 我们称无差异集是无差异超曲面.

       如果m=3, 我们称无差异集是无差异曲面.

       如果m=2, 我们称无差异集是无差异曲线.

        习惯上,我们一般用无差异曲线代指之.

     公理五: 单调性(monotonicity)    ---  多多逾善

            

             强单调性(strongmonotonicity).

             

         注:  公理五说明数量上的比较可以是偏好上的比较.

              公理五意味着公理五' .

     公理六': 凸性(convexity). -- 边际替代率递减(diminishing marginalrates of substitution)

             

     公理六:严格凸性(strictly convexity).

             

     定理1.2.5:无差异曲线处处都不会凹向原点.

          注: 如果采用严格凸性公理,那么无差异曲线必然凸向原点.

         如图,由公理五和公理六易证. 

三、效用函数

     定义1.3.1对于,如果有

    和

  成立, 则函数关系可以是一个代表了偏好关系的效用函数.

实际上这样获得的效用函数只是用来排列偏好的次序,很明显,这样的效用函数不是唯一的. 通常称之为序数效用函数(ordinary utility function) 

     注: 该定义涉及效用函数的存在性, 这由下面的定理保证.  

     定理1.3.1效用函数存在性定理 : 对上的二元偏好关系.如果它满足完备性公理、传递性公理、连续性公理和严格单调性公理,那么必然存在能代表这个二元偏好关系的连续效用函数..

       证明: 由前面曾经的分析, 我们可以用的存在性证明来代表的存在性证明.

          设是一个单位消费束(单位向量),并考虑满足如下条件的实值函数:

                                  (1.3.1)

          式(1.3.1)表示对于任意消费束 赋予其特定的数值,使得消费束与消费束无差异. 如果我们能够证明对于所有消费束总存在满足上式的唯一的,使得满足连续函数的定义,且可以用此函数来代表偏好关系,则本定理得证.

         首先证明对于所有消费束总存在满足式(1.3.1)的.

            任意给定消费束,存在实数集:和.如果,则一定有,使得满足式(1.3.1).  由此知,如果能够证明非空,则问题得证.

             偏好关系的连续性公理蕴涵着在内和都是闭集;同时依据严格单调性公理,对于所有的蕴涵着,因此,A必定是形式为的闭区间. 同理,必定是形式为的闭区间. 对于任何一个,偏好关系的完备性公理则蕴涵着要么,要么,即,意味着,于是得出结论,因此非空.

         其次,证明满足式(1.1)的是唯一确定的. 此与证明存在唯一的使得相等价. 假设存在,满足和,根据偏好关系的传递性公理有,再根据严格单调性公理,可以推出,与原假设矛盾.所有存在唯一的使得.

         然后,证明效用函数代表偏好关系.考虑两个消费束及分别代表其对应的效用值,满足,则下式成立:

           

          由此可知:效用函数确实代表偏好关系.

         最后,证明代表偏好关系的效用函数也是连续的.  根据偏好关系的连续性公理,证明效用函数的连续性等价于证明基于效用函数在上每一个开区间的逆映射在上也是开集.

          也就是说,对于每一个,是开集.

          即需要证明下式是开集:

               (1.3.1)

         根据偏好关系的连续性公理,集合和都是闭集,于是其补集和都是开集, 进而知 式(1.3.2)是开集. 因而效用函数是连续函数得证.

        证毕.

     定理1.3.2一个效用函数通过正单调变换(positive monotonic transform)而获得的另一效用函数与原来的函数表达同样的偏好顺序.

  即: 对, 如果,且 是单调递增函数,则有:

     

     根据效用函数的定义,该定理很明显.

     定义1.3.2边际效用(MU:marginal utility): 数学上的对应的就是效用函数的一阶偏导.    

     由于效用函数可以代表偏好关系,于是无差异曲线可以表示为:

               

     无差异曲线维度是m-1,可用中(m-1)个变量描述余下的一个变量.于是.形式变为:

         .

对上式两边求一阶偏导得到:

              

即:

                    (1.3.3)

     于是有如下定义:

     定义1.3.3我们称为物品i对应物品j的边际替代率(marginal rate of substitution).

     定理1.3.3:无差异曲线处处边际替代率非负.      

         注: 如果采用强单调性公理,那么无差异曲线的边际替代率必然为正.

         如果m=2, 式(1.3.3)变为

                于是该定理退化为:  无差异曲线处处斜率非正.

        证:  单调性公理,  , 进而由式(1.3.3),得到.  证毕.

四、消费者选择理论

     假设消费空间中所有商品都具有一个唯一公开的价格:

          ,这里是商品的价格.

     这时 消费集束中的一个元素,可以表示为:

          , 这里是商品的消费量

     消费者选择问题就可以简单地表述为：在既定收入约束或者财富约束下，最大化消费者效用函数:

          

其中: 被称为瓦尔拉预算集(Walrasian budget set)或简称预算集,

      也会被称之为消费的可行性集(feasible set).通常记为: 

       在数学上我们可以用拉格朗日方法解决: 

   首先根据单调性公理,我们知道最大效用点一定存在于上.

   然后构造拉格朗日函数:

   一阶条件就是:

                     (1.4.1)

                         (1.4.2)

  根据凸性公理(凸原点),二阶条件自动满足.  我们可以把第一个一阶条件(1.4.1)改成:

                 (1.4.3)

    即: 最优点位于: 预算集边界上并且边际替代率等于相对价格比率的点 或者 预算集边界和交集中效用最大的点.

    也说明: 当选择集的偏好关系与可行集或预算集有公切线集时,就形成了需求,需求是选择集和预算集在可分离但又有公切点时的产物.

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