经济学原理(曼昆)学习笔记-应用：赋税的代价

0 条评论 2009/06/17 15:54 561 次阅读

本章详细分析了赋税的影响,涉及消费者和生产者的总剩余,税收收入, 无谓损失. 此外,指出了书中我认为不妥的地方. 本学习笔记基本采用数学分析的语言来理解原书的内容.
2009-6-19补充分析: 税收实际负担者的问题, 就是说税收的影响最终是有谁来承担的.

我们还是假设在没有税收情况下的需求曲线 p=D(q) （自然是递减函数）,供给曲线 p=P(q) （自然是递增函数）。而 $({{q}_{\text{0}}},{{p}_{\text{0}}})$ 是均衡点，即 ${{p}_{\text{0}}}=P({{q}_{\text{0}}})=D({{q}_{\text{0}}})$ 。

这时的总剩余是: $R=\int_{0}^{{{q}_{0}}}{(D(q)-P(q))dq}$ , 并且这是达到均衡点的最大剩余.

这是前面是"第7章消费者、生产者与市场效率"的结论.

现在我们考虑打入税收楔子的情况. 我假设税收规模为 $T(\ge 0)$ , 并且设 $x(0\le x\le 1)$ 是消费者负担的比例, 自然 (1-x) 就是供给者负担的比例.

很明显,会导致需求曲线下移,供给曲线上移. 于是形成了新的需求曲线 $p={{D}^{*}}(q)=D(q)-x\cdot T$ ,新的供给曲线 $p={{P}^{*}}(q)=P(q)+(1-x)\cdot T$ 。而 $(q_{0}^{*},p_{0}^{*})$ 是均衡点，即 $p_{0}^{*}={{P}^{*}}(q_{0}^{*})={{D}^{*}}(q_{0}^{*})$ ,也就有 $D(q_{0}^{*})=P(q_{0}^{*})+T$ .

于是在新的需求曲线,新的供给曲线,新的平衡点的情况下,总的剩余是:

${{R}^{*}}=\int_{0}^{q_{0}^{*}}{({{D}^{*}}(q)-{{P}^{*}}(q))dq}=\int_{0}^{q_{0}^{*}}{(D(q)-P(q)-T)dq}$

先来比较前面两个平衡点的平衡方程:

$D({{q}_{\text{0}}})-P({{q}_{\text{0}}})=0$
$D(q_{0}^{*})-P(q_{0}^{*})=T$

由于 D(q) 是递减函数, P(q) 是递增函数,自然 (D(q)-P(q)) 必然是递减函数. 于是由 $T\ge 0$ ,知道 $q_{0}^{*}\le {{q}_{0}}$ ,和第六章提到的对一种物品征税使这种物品的市场规模收缩的结论一样.

我们进一步比较没有税收的总剩余R 和有税收的总剩余R* :

$R-{{R}^{*}}=\int_{0}^{{{q}_{0}}}{(D(q)-P(q))dq}-\int_{0}^{q_{0}^{*}}{(D(q)-P(q)-T)dq}$
$=(\int_{0}^{q_{0}^{*}}{(D(q)-P(q))dq}+\int_{q_{0}^{*}}^{{{q}_{0}}}{(D(q)-P(q))dq})$ $(q_{0}^{*}\le {{q}_{0}})$
$-\int_{0}^{q_{0}^{*}}{(D(q)-P(q)-T)dq}$
$=T\cdot q_{0}^{*}+\int_{q_{0}^{*}}^{{{q}_{0}}}{(D(q)-P(q))dq}$

注意其中的 $T\cdot q_{0}^{*}$ 这部分,这就是政府在这个物品上的税收收入. 由于政府税后最后用于公共服务或帮助需要帮助的人. 所有这部分是有用的. 但后一部分属于纯粹由于税收征收导致相对没有征税的无谓损失(deadweight loss). 所以经济学家或公共决策必须认真考虑如何减少无谓损失.

单独把无谓损失提出来分析,

$DL=\int_{q_{0}^{*}}^{{{q}_{0}}}{(D(q)-P(q))dq}$

我们先做一个变换: p=f(q)=D(q)-P(q) ,就是 $q={{f}^{-1}}(p)$ , 根据前面的分析知道 $f({{q}_{0}})=0$ , $f(q_{0}^{*})=T$ .

于是有
$\text{DL=}\int_{q_{0}^{*}}^{{{q}_{0}}}{(D(q)-P(q))dq}=\int_{T}^{0}{p\cdot d({{f}^{-1}}(p))}$
$=-\int_{0}^{T}{p\cdot ({{f}^{-1}}(p){)}'}dp=-\int_{0}^{T}{\frac{p}{{f}'(q){{|}_{q={{f}^{-1}}(p)}}}}dp$
$=\int_{0}^{T}{\frac{p}{\left( {P}'(q)-{D}'(q) \right){{|}_{q={{f}^{-1}}(p)}}}}dp$

如果我们考虑的供给曲线和需求曲线都是线性的. 于是

${P}'(q)={{k}_{P}}>0$ 是常数

${D}'(q)={{k}_{D}}<0$ 是常数

于是: $DL=\frac{{{T}^{2}}}{2({{k}_{P}}-{{k}_{D}})}$

从这里可以看出: (假设供求曲线都是线性的)

1) 无谓损失随着税收规模(T)的平方而增长.如图:

无谓损失

2) 当供给曲线不动, 需求曲线越倾斜,无谓损失越小, 反之则无谓损失越大.

可以近似的认为: 当供给曲线不动,需求曲线越有价格弹性,无谓损失越大,反之无谓损失也就越小.

3) 当需求曲线不动, 供给曲线越倾斜,无谓损失越小, 反之则无谓损失越大.

可以近似的认为: 当需求曲线不动,供给曲线越有价格弹性,无谓损失越大,反之无谓损失也就越小.

税收扭曲与弹性

注意这里第 2) 3)和书中的结论不一致. 我个人认为书中在这里用弹性概念解释不太合适. 就算我们考虑的供给曲线和需求曲线都是等价格弹性的(就是曲线上的所有价格弹性都相等),我分析过,也没有书中所提到的规律.但是可以近似的用弹性概念来解释.

下面继续学习税收收入和税收规模的关系.

前面提到 $RI=T\cdot q_{0}^{*}$ 就是税收收入. 而 $q_{0}^{*}$ 满足: $D(q_{0}^{*})=P(q_{0}^{*})+T$ .

如果我们考虑的供求曲线都是线性的关系:

$D(q)={{k}_{D}}\cdot q+{{c}_{D}}$ $({{k}_{D}}<0)$
$P(q)={{k}_{P}}\cdot q+{{c}_{P}}$ $({{k}_{P}}>0,{{c}_{D}}>{{c}_{P}})$

很容易解得:

$q_{0}^{*}=\frac{{{c}_{D}}-{{c}_{P}}}{{{k}_{P}}-{{k}_{D}}}-\frac{T}{{{k}_{P}}-{{k}_{D}}}$

于是有税收收入和税收规模关系的规律:

$RI=a\cdot T-b\cdot {{T}^{2}}$
$a=\frac{{{c}_{D}}-{{c}_{P}}}{{{k}_{P}}-{{k}_{D}}}>0$
$b=\frac{1}{{{k}_{P}}-{{k}_{D}}}>0$

这就是书中提到的倒抛物线-Laffer曲线. 如图:

Laffer曲线

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2009-6-19补充分析: 税收实际负担者的问题, 就是说税收的影响最终是有谁来承担的.

根据第七章笔记的分析结果,我们知到:

征税前, 总的消费者剩余和总的生产者剩余分别是:

${{r}_{d}}(q)=\int_{0}^{{{q}_{0}}}{D(q)dq}-{{q}_{0}}D({{q}_{0}})$
${{r}_{p}}(q)={{q}_{0}}P({{q}_{0}})-\int_{0}^{{{q}_{0}}}{P(q)dq}$

征税后, 总的消费者剩余和总的生产者剩余分别是:

$r_{d}^{*}(q)=\int_{0}^{q_{0}^{*}}{{{D}^{*}}(q)dq}-q_{0}^{*}{{D}^{*}}(q_{0}^{*})$
$r_{p}^{*}(q)=q_{0}^{*}{{P}^{*}}(q_{0}^{*})-\int_{0}^{q_{0}^{*}}{{{P}^{*}}(q)dq}$

于是税收前后消费者总剩余损失了:

${{r}_{d}}(q)-r_{d}^{*}(q)=\left( \int_{0}^{q_{0}^{*}}{D(q)dq}+\int_{q_{0}^{*}}^{{{q}_{0}}}{D(q)dq}-{{q}_{0}}D({{q}_{0}}) \right)$
$-\left( \int_{0}^{q_{0}^{*}}{\left( D(q)-x\cdot T \right)dq}-q_{0}^{*}\left( D(q_{0}^{*})-x\cdot T \right) \right)$
$=\int_{q_{0}^{*}}^{{{q}_{0}}}{D(q)dq}+\left( q_{0}^{*}\cdot D(q_{0}^{*})-{{q}_{0}}D({{q}_{0}}) \right)+\int_{0}^{q_{0}^{*}}{x\cdot T\cdot dq}-x\cdot T\cdot q_{0}^{*}$
$=\int_{q_{0}^{*}}^{{{q}_{0}}}{D(q)dq}+\left( q_{0}^{*}\cdot D(q_{0}^{*})-{{q}_{0}}D({{q}_{0}}) \right)=\int_{q_{0}^{*}}^{{{q}_{0}}}{D(q)dq}-\int_{q_{0}^{*}}^{{{q}_{0}}}{d(q\cdot D(q)})$
$=-\int_{q_{0}^{*}}^{{{q}_{0}}}{q\cdot dD(q)}=\int_{{{q}_{0}}}^{q_{0}^{*}}{q\cdot dD(q)}$
$=\int_{{{p}_{0}}}^{D(q_{0}^{*})}{{{D}^{-1}}(p)\cdot dp}$