勒让德变换简述 - 無處不在

勒让德变换简述

0 条评论 2009/04/19 16:12 481 次阅读

勒让德变换是一个应用广泛的但是用到的地方又语焉不详的一个方法。
本文根据各处的描述，尽量严格简洁的描述勒让德变换。

考虑一个函数：，我们将分成两部分，其中一部分是我们关注的变量，不妨称为主变量,余下部分我们认为是辅助变量，这里. 于是我们考虑的函数就是。

勒让德变换定义：

我们定义一个新的函数，如果满足如下两个条件：
wps_clip_image8

则和相互彼此的勒让德变换。或者说：是关于的勒让德变换，是关于的勒让德变换。

满足上述条件的勒让德变换不是唯一的。下面给出一个标准勒让德变换：

易证：
如果 wps_clip_image14 ，则

wps_clip_image15

反之亦然。

勒让德变换步骤：

1）找出： wps_clip_image16

2）计算出反函数

3）代入勒让德变换

勒让德变换的性质：

1）标度性质

wps_clip_image19

2）平移性质

wps_clip_image20

3）反演性质

如果是一维变量(), 退化，退化，则有：

应用场景：

1）各种气体热力学函数之间的关系

2）哈密顿函数和拉格朗日函数之间的关系

3）弹性力学的弹性体的势能和余能之间的关系

4）广义变分原理

5）正则变换

6）微分几何里面的曲线和点的关系的相互表示

等等。。。。

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附：勒让德变换的反演性质证明

先考虑和

其中

解出:

最终我们得到的标准勒让德变换：

然后考虑 和

其中

已知：

于是

wps_clip_image11[2]

根据前面的约定：，代入到上式得：

wps_clip_image13[2]

这样也解出了

最终我们得到的标准勒让德变换：

wps_clip_image16[1]

最后比较：和有：

wps_clip_image19[1]

即：

得证。

李清照-如梦令

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分类: 读书笔记标签: 数学勒让德变换

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